'《Scattering of Electromagnetic Waves: Theories and Applications》第一章'
单粒子的电磁散射
本书主要研究随机分布的粒子对波的传播和散射。本章和下一章讨论单个粒子的散射。
1.基本散射参数
1.1 散射幅度与散射截面
入射波打在介电常数为
这里,
且
在远场区,散射场为球面波,会有衰减因子
这里
磁场满足:
这里
类似的,对于散射波,磁场为
坡印廷矢量:
利用(1.1.4)和(1.1.8),有
考虑一个散射方向上的微分立体角
在距离为
穿过
将(1.1.9)代入(1.1.12):
考虑入射波的坡印廷矢量,从(1.1.6)中,我们有
(1.1.14)的量纲为面积,因此定义散射截面
对比(1.1.14)和(1.1.15),有
对(1.1.14)积分,得到
散射功率为
其中
散射截面和几何截面
几何截面
我们可以比较
其中
这表明粒子与波长相比很小时,粒子散射的功率远远小于
在短波的限制下,
这被称为是几何光学极限。散射截面
这里
吸收截面
粒子可以从入射电磁波中吸收能量,令
利用欧姆定律,吸收的功率为
这里
粒子总的截面为
粒子的反射率(albedo)为
因此
1.2 散射幅度矩阵
我们接下来考虑极化。入射波电场垂直于传播方向
这里
散射波类似,令

散射场分量
极化描述的正交归一系统
有两个通常选择的正交归一系统:
A.基于散射平面的系统
令
这些时为垂直于该平面的单位矢量。并且有
根据正交性
在该1-2坐标系中,散射幅度矩阵仍然遵循:
该坐标系的优势在于对于具有对称性的粒子,散射幅度能够呈现简单的形式。缺点在于
一些有用的关系:
B.垂直和水平极化
在地球物理探测和地球遥感探测中,
它垂直于
垂直极化的别名包括TM极化、平行极化和
类似的,如果
2.Rayleigh散射
2.1 单个小粒子的Rayleigh散射
在Rayleigh散射中,粒子尺寸
令粒子内部电场由
电极化强度是指电介质在某一点单位体积内的电偶极矩。具体来说,电极化强度
是一个矢量,它描述了单位体积内所有分子偶极矩的平均密度。当电介质处于外电场中时,分子内的正负电荷中心会发生相对位移,形成电偶极子,这种现象称为位移极化。电极化强度的大小与外电场强度以及介质的极化率相关,对于各向同性的线性电介质,电极化强度与外电场呈线性关系。电极化强度的散度反映了极化电荷体密度的负值,而其旋度为零,这意味着电极化强度是一个保守场。 在电磁学中,电极化强度是一个重要的物理量,它帮助我们理解电介质在外电场作用下的行为。通过电极化强度,我们可以计算出极化电荷的分布,进而分析电介质对电场的响应。电极化强度与电位移矢量
密切相关, 是为了解决含有电介质的静电场问题而引入的辅助场,它简化了麦克斯韦方程组的求解过程,使得在处理电介质问题时,可以忽略极化电荷的影响,直接与自由电荷关联。 电极化强度可以被定义为
。而对于线性、各向同性的电介质,电极化强度满足 。
在Rayleigh散射中,内部场是一个常矢量。粒子的偶极矩是
其中
使用(1.2.4),散射幅度矩阵可以由内部场
在Rayleigh散射中,根据(1.1.26),粒子的吸收功率为
2.2 球的Rayleigh散射
考虑一个球,其半径
设任意一点的总场为
,该点距离球心为 ,高斯定理告诉我们
从而有
如果内部的球产生了电极化,那么可以分成正电球和负电球两个球,二者的球心之间有一个小距离。假定球内部有一个点,距离负电球球心距离为 ,距离正电球球心距离为 ,那么有
考虑到总电场是外电场和极化电场的叠加:
从而
考虑到线性均匀介质的关系:
因此
即有
所以对应到这里,由于粒子的介电常数为,入射电场为 ,所以粒子内部的总场为
内部场
这里
从(1.2.7)中,
我们可以用散射平面系统计算得到散射幅度矩阵。首先令
从(1.2.9)中,可以看到
接下来,令
接下来,我们采用正交水平/垂直极化单位矢量。
为了得到
因此
同理,为得到
为计算散射截面,假定入射波是水平极化的,散射功率由水平极化和垂直极化散射波在全部散射角度的总和的积分确定:
如果我们与几何截面
由于
吸收散射截面
小粒子吸收的功率为
吸收截面为
对于球的情况,将(1.2.6)和(1.2.16)代入(1.2.17)
如果我们求散射截面与吸收截面的比值,那么有
因此
2.3 椭球的Rayleigh散射
令
其中
三个积分的和满足:
对于旋转椭球,
对于长球体,即
其中
为椭球率。
对于扁球体
其中
对于薄圆盘,我们可以将其视为扁球体的特例,令
将(1.2.32)-(1.2.33)代入(1.2.20),得到
对(1.2.34)的解释是,入射电场的切向分量穿过薄圆盘,而入射电场的法向分量穿过圆盘时变为了
2.4 散射并矢/散射矩阵
从(1.2.20)出发,很容易定义散射并矢:
利用(1.2.4)和(1.2.20),我们得到
所以
由于
所以
双站散射截面定义为
在后向散射时,
因此
以及
注意(1.2.43)中没有负号,而(1.2.41)和(1.2.42)中有负号。
例1
对于球体,
此时有
在后向散射方向:
因此
所以球体的后向散射的特征是
如果入射波为右旋极化波,那么
例2
对于薄圆盘的情况
之后
其中
令
3 散射的积分表示与Born近似
3.1 散射幅度的积分表达
本节中,我们将推导积分表达。
回想(1.2.4),单个粒子的远场散射场
考虑一个散射体,任意尺寸、任意形状、非均匀介电常数
其中
我们估计(1.3.2)中的相位项:
幅度上有
对散射场进行远场近似,并对体积进行积分:
(1.3.6)中的表达式是任意大小、形状和不均匀介电常数粒子的精确远场散射振幅。然而内部场
除了使用内部电场,我们可以使用表面的切向电场和磁场。给定切向电场和磁场,远场辐射场为
(1.3.7)的导数可以在第2章Section2找到。
3.2 Born近似
Born近似包含用入射场近似内部场:
这适用于以下情况:
也就是说,当粒子的介电常数接近背景介质的介电常数时,粒子被称为是微弱的(tenuous)。注意Born近似并不需要假定粒子很小的假设。它假定粒子和背景介质的介电常数很小。令入射波为平面波,这样
将(1.3.8)和(1.3.10)代入到(1.3.6),得到
在(1.3.11)中,我们将积分上下限拓展至全空间,因为粒子外有
那么
其中
这里
那么
方程(1.3.16)是三维傅里叶变换的形式。因此如果在很多的
然而,为了利用
如果
最大
散射场的极化为
例:
对于一个半径为
为了积分,不失一般性地,我们沿
角度展宽意味着Born近似预测,大部分散射能量都在角度
如果我们使用散射平面坐标系表示散射幅度矩阵,并记
对于球的情况,我们有
其中
且
4 平面波,柱面波,球面波
标量波方程为
矢量电磁波方程为
本节中,我们将讨论这两个方程的解,使用的坐标系包括笛卡尔坐标系、柱坐标系、球坐标系。
4.1 笛卡尔坐标系:平面波
标量平面波解为
其中
为传播矢量。将(1.4.3)代入(1.4.1)得到
对于矢量电磁波方程,令
将(1.4.6)代入(1.4.2),得到
将上式标量点乘
从(1.4.7)和(1.4.8)中,我们有
从而得到(1.4.5)。
4.2 柱面波
在柱坐标系下,标量波方程为
令
在柱坐标系
其中
其中
函数在
且对于
函数在
对于负指标,则有
以上是对标量波方程的讨论。而对于矢量波,情况则复杂得多。矢量柱面波方程为
当没有
其中,
我们接下来试图找到平面波和柱面波之间的变换。令
我们有数学等式:
所以
利用
其中
两边取旋度,得到
然后
其中
4.3 球面波
在球坐标系下,标量波方程为:
标量波方程实际上就是亥姆霍兹方程,它的解呈现出这样的形式(球贝塞尔方程/半整数阶贝塞尔方程):
进一步地,也可以分解为连带勒让德方程和三角函数:
其具有外行波解:
其中
这里用
是因为球Hankel函数代表满足亥姆霍兹方程的球函数的 分量是外行波。( 和 是驻波, 是内行波)。
我们同样可以定义正则波方程:
其中
这是罗德里格斯公式。
其对于
前几阶连带Legendre函数如下:
对于
对于
对于
前几阶球Bessel函数为
对于球Hankel函数,我们有
由于我们仅仅使用了第一类球Hankel函数,我们将省略上标(1)。对于小段
在求复变函数的极限时,有时必须保留实部的主导项和虚部的主导项(leading term)。因此我们可以得到(1.4.44b)的小参数近似,尽管实部远小于虚部。对于
球谐函数定义为:
其具有正交关系:
完备关系为:
平面波的球波分量展开为:
其中
矢量球谐函数包括三类矢量方程
注意对于
其中
三类正则矢量球面波
对于三维亥姆霍兹方程,如果
是 的解,那么任取一个无旋矢量 ,这三个矢量函数均满足三维亥姆霍兹方程
我们可以从平面直角坐标系下的电场去理解为什么会有三个解。取
我们这里可以看到,是沿传播方向的结果,其它的 和 是垂直传播方向的,可以被理解为电磁波的极化。
在(1.4.55)-(1.4.57)中,
在(1.4.55)-(1.4.57)中,没有前缀
而
矢量球面波函数可以表示为矢量球谐函数的积分形式:
利用(1.4.63)-(1.4.65),可以得到
其中
为了获得沿
我们注意到:
该式除了
外行矢量球面波的远场解为
在Mie散射中,结果经常被表示为
当
之后我们可以将
而对于
对于
5 声散射
声波是标量波的一个例子,本节将简要介绍声波传播。
运动方程为
其中
我们有
质量守恒律有:
为了获得声方程,我们需要将(1.5.1)和(1.5.3)线性化。令
这里,我们假定
材料的构成关系是
常数
利用(1.5.1)式,我们得到了
将(1.5.8)式平衡(Balancing)至一阶,得到:
从(1.5.3)中,我们得到
将(1.5.10)平衡至一阶,得到:
将(1.5.7)中的本构方程代入(1.5.11),得到
从(1.5.9)和(1.5.12)中,我们可以得到
两个介质之间的边界条件是:
压强的连续性 速度的法向分量的连续性
6 球、柱体、圆盘的散射
6.1 Mie散射
Mie散射是半径为
由于球的对称性,很方便使用散射平面正交坐标系表示散射幅度,以得到:
我们令入射波沿
入射场由(1.4.68)给出,
为了求解边值问题,我们令散射场为
并令内部场为
注意,内部场满足波数为
平衡(其实就是比较两边的分量)
下一步,我们在
我们有
求解(1.6.9)和(1.6.12),得到